4.1 Тригонометр функц /Хичээл/
4.1 Тригонометрийн үндсэн томьёо
Үндсэн адилтгал, нийлбэр ба ялгаврын томьёо, давхар өнцөг, хагас өнцгийн томьёонууд
Тайлбар
Тригонометрийн томьёонууд нь өнцөг, синус, косинус, тангенс, котангенсийн хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг.
Эдгээр томьёог ашиглан илэрхийлэл хялбарчлах, утга олох, баталгаа хийх, бодлого бодох боломжтой.
Үндсэн адилтгал
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
\[\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\]
\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cot\alpha}\]
\[\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\tan\alpha}\]
\[1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}\]
\[1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\]
Нийлбэр ба ялгаврын томьёо
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]
\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\]
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]
\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]
\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\]
\[\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\]
Давхар өнцгийн томьёо
\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]
\[\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]
\[\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1\]
\[\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\]
\[\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\]
\[\cot 2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}\]
\[1-\cos 2\alpha=2\sin^2\alpha\]
\[1+\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha\]
Функцүүдийг нөгөөгөөр нь илэрхийлэх
\[\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}\]
\[\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\]
\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cot\alpha}\]
\[\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\tan\alpha}\]
Нийлбэрийг үржвэрт хувиргах
\[\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\]
\[\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\]
\[\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\]
\[\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\]
Зэрэгт функцийг хувиргах
\[\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}\]
\[\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\]
\[\tan^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}\]
\[\cot^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha}\]
Үржвэрийг нийлбэрт хувиргах
\[\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\]
\[\cos\alpha\sin\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\]
\[\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\]
\[\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]\]
Хагас өнцгийн томьёо
\[\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\]
\[\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\]
\[\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\]
\[\cot\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\]
1
Санамж
Томьёо хэрэглэхдээ аль функц хаана тодорхойлогдохыг анхаарах хэрэгтэй. Ялангуяа \(\tan\alpha\) болон \(\cot\alpha\)-тай үед хуваарийн нөхцөлийг шалгана.
\[
\cos\alpha \neq 0 \Rightarrow \tan\alpha \text{ тодорхойлогдоно}
\]
\[
\sin\alpha \neq 0 \Rightarrow \cot\alpha \text{ тодорхойлогдоно}
\]
2
Жишээ
Давхар өнцгийн томьёог ашиглан \(\sin 2\alpha\)-ийн утгыг хурдан олж болно. Хэрэв \(\sin\alpha=\frac12\), \(\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\) бол:
\[
\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}
=\frac{\sqrt3}{2}
\]
3
Хураангуй томьёонууд
Доорх томьёонууд нь энэ хичээлийн хамгийн чухал тригонометрийн үндсэн хэлбэрүүд юм.
Дүгнэлт
Энэ хичээлээр тригонометрийн үндсэн адилтгал, нийлбэр ба ялгаврын томьёо, давхар өнцөг, хагас өнцөг, мөн хувиргалтын гол томьёонуудыг нэг дор цэгцтэйгээр үзлээ.
Эдгээр томьёо нь бодлого бодох суурь тул сайн тогтоож, жишээн дээр давтаж хэрэглээрэй.
Өөрийгөө сорих
Өөрийгөө сориод үзээрэй
10 асуулт • 4 минут — дүнгээ шууд хараарай.
⏳ Сорилын холбоос
Сорил эхлэх
Богино хугацаанд мэдлэгээ шалгахад тохиромжтой.
⭐ MathematicMN/Математик-ийг дагаарай
Шинэ хичээл, жишээ бодлого, тайлбар болон тестүүдийг цаг тухайд нь үзэхийн тулд блогоо дагаарай.
Follow / Дагах📱 MathematicMN/Математик татах
Математикийн томьёо, тайлбар, жишээ бодлого болон өөрийгөө сорих тестүүдийг апп-аар ашиглаарай.
Comments
Post a Comment