4.3 Тригонометр-Эмхтгэлийн томьёо /Хичээл/

4.3 Тригонометр-Эмхтгэлийн томьёо

Тригонометрийн эмхэтгэлийн томьёо, стандарт өнцгүүдийн утга, хүснэгттэй тайлбар

Тайлбар

Дараах хүснэгтүүдэд стандарт өнцгүүдийн \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) функцийн утгуудыг градус болон радианаар илэрхийлэн харууллаа. Эдгээр нь бодлого бодох, томьёо хувиргалтад цээжээр мэдэх шаардлагатай суурь утгууд юм.

1

Эмхэтгэлийн томьёоны ойлголт

\(k=1,2,3,4\) байхад \(\left(\frac{k\pi}{2}\pm t\right)\) аргументтай тригонометр функцийн утгыг \(0\le t\le \frac{\pi}{2}\) байх \(t\) аргументтай тригонометр функцийн утгаар илэрхийлсэн адилтгалыг эмхэтгэлийн томьёо гэнэ.

Санамж: Эдгээр томьёо нь өнцгийг I мөчид шилжүүлж, тригонометрийн утгыг хурдан олоход ашиглагдана.

2

Эмхэтгэлийн томьёонууд

\[ \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\cos\alpha,\qquad \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\pm\alpha\right)=-\cos\alpha \]

\[ \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\mp\sin\alpha,\qquad \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha \]

\[ \tan\!\left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\mp\cot\alpha,\qquad \tan\!\left(\frac{3\pi}{2}\pm\alpha\right)=\pm\cot\alpha \]

\[ \cot\!\left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\mp\tan\alpha,\qquad \cot\!\left(\frac{3\pi}{2}\pm\alpha\right)=\pm\tan\alpha \]

3

Бусад хэрэглэгдэх томьёо

\[ \sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha,\qquad \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha \]

\[ \cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \cos(2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha \]

\[ \tan(\pi\pm\alpha)=\pm\tan\alpha,\qquad \tan(2\pi\pm\alpha)=\pm\tan\alpha \]

\[ \cot(\pi\pm\alpha)=\pm\cot\alpha,\qquad \cot(2\pi\pm\alpha)=\pm\cot\alpha \]

I

Тригонометрийн функцийн утга (I мөч)

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \alpha & \sin\alpha & \cos\alpha & \tan\alpha & \cot\alpha \\ \hline 0^\circ\ (0) & 0 & 1 & 0 & - \\ \hline 15^\circ\ \left(\frac{\pi}{12}\right) & \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4} & \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4} & 2-\sqrt{3} & 2+\sqrt{3} \\ \hline 18^\circ\ \left(\frac{\pi}{10}\right) & \frac{\sqrt{5}-1}{4} & \frac{\sqrt{2(\sqrt{5}+5)}}{4} & \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2(\sqrt{5}+5)}} & \frac{\sqrt{2(\sqrt{5}+5)}}{\sqrt{5}-1} \\ \hline 30^\circ\ \left(\frac{\pi}{6}\right) & \frac12 & \frac{\sqrt3}{2} & \frac1{\sqrt3} & \sqrt3 \\ \hline 36^\circ\ \left(\frac{\pi}{5}\right) & \frac{\sqrt{2(5-\sqrt5)}}{4} & \frac{\sqrt5+1}{4} & \frac{\sqrt{2(5-\sqrt5)}}{\sqrt5+1} & \frac{\sqrt5+1}{\sqrt{2(5-\sqrt5)}} \\ \hline 45^\circ\ \left(\frac{\pi}{4}\right) & \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & 1 & 1 \\ \hline 54^\circ\ \left(\frac{3\pi}{10}\right) & \frac{\sqrt5+1}{4} & \frac{\sqrt{2(5-\sqrt5)}}{4} & \frac{\sqrt5+1}{\sqrt{2(5-\sqrt5)}} & \frac{\sqrt{2(5-\sqrt5)}}{\sqrt5+1} \end{array} \]

II

Тригонометрийн функцийн утга (II мөч)

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \alpha & \sin\alpha & \cos\alpha & \tan\alpha & \cot\alpha \\ \hline 60^\circ\ \left(\frac{\pi}{3}\right) & \frac{\sqrt3}{2} & \frac12 & \sqrt3 & \frac1{\sqrt3} \\ \hline 75^\circ\ \left(\frac{5\pi}{12}\right) & \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} & \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} & 2+\sqrt3 & 2-\sqrt3 \\ \hline 90^\circ\ \left(\frac{\pi}{2}\right) & 1 & 0 & - & 0 \\ \hline 120^\circ\ \left(\frac{2\pi}{3}\right) & \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 & -\sqrt3 & -\frac1{\sqrt3} \\ \hline 135^\circ\ \left(\frac{3\pi}{4}\right) & \frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & -1 & -1 \\ \hline 150^\circ\ \left(\frac{5\pi}{6}\right) & \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac1{\sqrt3} & -\sqrt3 \\ \hline 180^\circ\ (\pi) & 0 & -1 & 0 & - \end{array} \]

III

Тригонометрийн функцийн утга (III ба IV мөч)

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \alpha & \sin\alpha & \cos\alpha & \tan\alpha & \cot\alpha \\ \hline 210^\circ\ \left(\frac{7\pi}{6}\right) & -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2} & \frac1{\sqrt3} & \sqrt3 \\ \hline 225^\circ\ \left(\frac{5\pi}{4}\right) & -\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & 1 & 1 \\ \hline 240^\circ\ \left(\frac{4\pi}{3}\right) & -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 & \sqrt3 & \frac1{\sqrt3} \\ \hline 270^\circ\ \left(\frac{3\pi}{2}\right) & -1 & 0 & - & 0 \\ \hline 300^\circ\ \left(\frac{5\pi}{3}\right) & -\frac{\sqrt3}{2} & \frac12 & -\sqrt3 & -\frac1{\sqrt3} \\ \hline 315^\circ\ \left(\frac{7\pi}{4}\right) & -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & -1 & 1 \\ \hline 330^\circ\ \left(\frac{11\pi}{6}\right) & -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2} & -\frac1{\sqrt3} & -\sqrt3 \\ \hline 360^\circ\ (2\pi) & 0 & 1 & 0 & - \end{array} \]

Дүгнэлт

Эмхэтгэлийн томьёо болон стандарт өнцгүүдийн утгыг сайн мэддэг бол тригонометрийн илэрхийлэл хувиргах, утга олох, бодлого бодох үед маш их хялбар болдог.

Өөрийгөө сорих

Өөрийгөө сориод үзээрэй

10 асуулт • 4 минут — дүнгээ шууд хараарай.

⏳ Сорилын холбоос

Сорил эхлэх

Богино хугацаанд мэдлэгээ шалгахад тохиромжтой.

⭐ MathematicMN/Математик-ийг дагаарай

Шинэ хичээл, жишээ бодлого, тайлбар болон тестүүдийг цаг тухайд нь үзэхийн тулд блогоо дагаарай.

Follow / Дагах

📱 MathematicMN/Математик татах

Математикийн томьёо, тайлбар, жишээ бодлого болон өөрийгөө сорих тестүүдийг апп-аар ашиглаарай.

 iOS татах ▶ Android татах